հանրահաշիվ 8 – Page 2 – Անահիտ Տիգրանյան

Միջակայքերի պատկերումը թվային ուղղի վրա

Գիտենք, որ իրական թվերի երկրաչափական մոդելը թվային ուղիղն է: Ցանկացած իրական թիվ թվային ուղղի վրա ունի իր դիրքը: Հիմա կպարզենք, թե ինչպես են թվային ուղղի վրա պատկերվում թվային միջակայքերը: Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները.

Անհավասարությունների և ծայրակետերի նշանակումներ	Բազմությունների նշանակումներ
≤ կամ ≥ ∙ (ծայրակետն ընդգրկված է)	[ և]քառակուսի փակագծեր
< կամ > о (ծայրակետն ընդգրկված չէ)	( և )կլոր փակագծեր

Գոյություն ունեն թվային ուղղի վրա բազմությունների 4 տեսակի նշանակումներ:

Ամբողջ թվային ուղիղը նշանակվում է այսպես՝ (−∞;∞)։

Եթե x թիվը միաժամանակ բավարարում է x>−4 և x<5 անհավասարություններին, ապա այն բավարարում է −4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը:

−4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը բավարարող բոլոր թվերի բազմությունը անվանում են թվային միջակայք և նշանակում են այսպես՝ (−4;5):

Միջակայքը պատկերենք թվային ուղղի վրա: Կարդում ենք՝ «−4, 5 ինտերվալ», կամ «բաց միջակայք» : Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված չեն (սևացված չեն):

Դիտարկենք ուրիշ միջակայքեր:

−4≤x≤5 կամ x∈[−4;5]: Կարդում ենք՝ «−4, 5 հատված», կամ «փակ միջակայք»: Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված են (սևացված են):

−4≤x<5 կամ x∈[−4;5): Կարդում ենք՝ «−4, 5 կիսաինտերվալ», կամ «կիսաբաց միջակայք»: Նկատենք, որ կիսաինտերվալի ծայրակետերից մեկը՝ −4 -ը ընդգրկված է (սևացված է), իսկ մյուսը՝ 5 -ը ընդգրկված չէ (սևացված չէ):

−4<x≤5 կամ x∈(−4;5]: Սա ևս կիսաինտերվալ է՝ բաց ձախ ծայրակետով:

Առաջադրանքներ․

1)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող բոլոր ամբողջ թվերը՝

ա)[-3;1]=-3,-2,-1,0,1

բ)(-3;1)-2,-1,0

գ)[-3;1)-3,-2,-1,0

դ)(-3;1]-2,-1,0,-1

ե)[-2;3]-2,-1,0,1,2

զ)(-2;3)-1,0,1,2

է)[-2;3)-2,-1,0,1,2

ը)(-2;3]-1,0,1,2,3

2)Պատկանու՞մ է արդյոք -2 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):

ա)[-3;0]-∈

բ)(-2;3)-∉

գ)(-∞;-2]-∈

դ)(-3;+∞)-∈

ե)N-∉

զ)Z-∈

է)Q-∈

ը)R-∈

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող երեք ամբողջ թվեր՝

ա)[0;+∞)-1,2,3

բ)(0;+∞)-4,5,6

գ)(-∞;1)– 0,-1,-2

դ)(-∞;1]--2,-1,0,

2)Պատկանու՞մ է արդյոք 2/3 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):

ա)(0;1]-∈

բ)[1;2]- ∉

գ)(-∞;2/3]-∈

դ)(2/3;+∞)-∉

ե)N-∉

զ)Z-∉

է)Q-∈

ը)R-∈

Իրական թվեր

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ ներկայացվում է անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակների տեսքով՝

4=4,000…=4,(0) 5/4=1,25=1,25000…=1,25(0)

7/22=0,3181818…=0,3(18)

7,3777=7,37770000…=7,3777(0)

Սակայն, կան անվերջ տասնորդական կոտորակներ, որոնք պարբերական չեն:

Օրինակ

0,10110111… (յուրաքանչյուր 0-ից հետո 1-երի թիվը մեկով ավելանում է),

−17,1234567891011121314… (ստորակետից հետո գրված են բոլոր բնական թվերը):

Կան նաև երկրաչափությունից հայտնի անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակներ:

Եթե ցանկացած շրջանագծի երկարությունը բաժանել նրա տրամագծի վրա, ապա քանորդում ստացվում է իռացիոնալ թիվ: Այդ թիվը հանրահայտ π=3,1415926535897932… թիվն է (π-ն հունարեն այբուբենի տառ է, կարդացվում է «պի»):

Թիվը, որը կարելի է գրել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով կոչվում է իռացիոնալ թիվ:

Իրական թվեր

Եթե ռացիոնալ թվերի բազմությանը ավելացնել իռացիոնալ թվերը, ապա միասին դրանք տալիս են իրական թվերի բազմությունը: Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով:

Այսպիսով, կան երկու տեսակի իրական թվեր՝

ռացիոնալ թվեր,
իռացիոնալ թվեր:

Թվերը ներկայացնելով տասնորդական կոտորակների տեսքով, գալիս ենք հետևյալ եզրակացությանը: Իրական թվերը բաղկացած են տասնորդական կոտորակներից՝

վերջավոր և անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակներից (ռացիոնալ թվեր),
անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակներից (իռացիոնալ թվեր):

Առաջադրանքներ․

1)Սովորական կոտորակը վերածեք պարբերականի և նշեք նրա պարբերությունը․

ա)12/99=4\33

բ)23/99=0,23

գ)34/99=0,34

դ)45/99=0,45

2)Օգտվելով նախորդ առաջադրանքից՝ պարբերական կոտորակը գրառեք սովորական կոտորակի տեսքով․

ա)0,(1)=0,1\1-0,1=0,1\1-0,9=1\9

բ)0,(3)=0,3\1-0,1=1\3

գ)0,(5)=0,5/1-0,1=1\5

դ)0,(7)=0,7\1-0,1=7\9

ե)0,(25)=0,25\1-00,1=25\99

զ)0,(37)=0,37\1-00,1=37\99

է)0,(10)=0,10\1-00,1=10\99

ը)0,(05)=0,5\1-00,1=5\99

3)Տրված թիվը գրառեք պարբերական կոտորակի տեսքով, նշեք պարբերությունը․

ա)1/3=0,(3)

բ)2/9=0,(2)

գ)12/5=2,4

ե)24/30=0,8

զ)36/48=0,75

է)4/7=0,57142857

ը)45/63=0,714285714

թ)1/6=0,16666

Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների հետ

Առաջադրանքներ․

Ձևափոխեք հանրահաշվական կոտորակի․

ա. x-2x\8=-x\8
բ․7a\24
գ.2m-6m\6
դ․3a-3+2a\30=5a-3\30
ե.8x+12+3x-3\24=11x+9\24
զ․3a-6-4+2a\30=5a-10\30

ա.3-4\12x=-1\12x
բ.4+5\4m=9\4m
գ.2q+3\pq
դ․a-by\xy
ե.m²-n\mn²
զ․2a²+24b\6ab²

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Ձևափոխեք հանրահաշվական կոտորակի․

ա․mc+mb\abc
բ.2ab-5an\mnb
գ.2ab-3b²/mb=2ab+8b²+4a\mb
դ.xz-yz-xy+zy/xyz=xz-xy\xyz=x(2-y)\xyz

ա․2x-3\x³
բ․7a-3am²/m⁴
գ.b⁴+a⁴\a⁵b⁷
e./3a z⁴-3b x⁶y /x⁷y⁵ z⁵
զ.m⁷ n b³ +3mn²a c⁵ /a⁴ b⁶ c ⁹

Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների հետ

Միևնույն հայտարարով A/B և C/B հանրահաշվական կոտորակները գումարում և հանում են հետևյալ կանոնով՝

Իսկ եթե կոտորակները ունեն տարբեր հայտարարներ, ապա նախ դրանք բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, նոր գումարում կամ հանում ըստ (1) և (2) կանոնների:

A/B և C/D հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումն ու բաժանումը կատարում են հետևյալ կանոնով՝

Առաջադրանքներ․

Կատարեք գործողությունները․

բ․a-b\7
գ․2x-3y\5
4a\8=a\2
4x\4=x

ա․8\a+b
բ1\x-1
գ․6\a+b1
դ․2m-2\m+n
ե․-x-9\x-3
զ․8p-8\p+1

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Կատարեք գործողությունները․

ա․=x\2
բ․2a-1+a\3=3a-1\3
գ․a+b+a\5=2a+b\5
դ․y-x+y\7=2x-x\7
ե․2+x+2x-8\3=3x-6\3=x-2
զ․2a-a-1\8=a-1\8

ա․3\a
բ․3+a\x
գ․-a\b

դ․=5x²\a
ե․=3x+4\a
զ․=-2

Հանրահաշվական կոտորակներ և նրանց հատկություններ

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա)պատ՝x+y=2ax
բ)պատ՝1
գ) պատ՝ 2/5
դ) պատ՝ 1/2
ե) պատ՝ (x-y)²2/4xy
զ) պատ՝ 5m/7n²1(a-b)
է) պատ՝ 1p/2q
ը) պատ՝ 4(a+b)/9

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա․=2
բ․=4\6
է)x‾²
ը)2mn/3
թ)4b²/6a²
ժ)6x²/7yz

Հանրհաշվական կոտորակներ և նրանց հատկություններ

Թվային արտահայտությունը կազմվում է թվերից, թվաբանական գործողությունների նշաններից և փակագծերից:

Թվային արտահայտության գործողությունների արդյունքում ստացված թիվը կոչվում է թվային արտահայտության արժեք:

Եթե թվային արտահայտությունը պարունակում է նաև տառեր (կամ միայն տառեր), ապա այն կոչվում է հանրահաշվական արտահայտություն:

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է AB տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:

Հանրահաշվական կոտորակը բազմանդամի և ոչ զրոյական բազմանդամի քանորդ է:

x/x−3; b−1/b+6; 1+x³/x²+1; y+2/y²−6y+6 արտահայտությունները հանրահաշվական կոտորակներ են:

Հանրահաշվական կոտորակների հիմնական հատկությունը․

Կոտորակի համարիչի և հայտարարի նույն թվի վրա բաժանելը կոչվում է կոտորակի կրճատում:

Հանրահաշվական կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկենք միևնույն արտահայտությամբ, որի արժեքը զրոյից տարբեր է:

Հաճախ հանրահաշվական կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս, պետք է լինում փոխարինել կոտորակի համարիչը կամ հայտարարը հակադիրով: Սակայն, որպեսզի կոտորակի արժեքը չփոխվի, պետք է հետևել նշանի փոփոխության կանոններին՝

կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե

— փոխենք համարիչի և հայտարարի նշանները,

— փոխենք համարիչի և ամբողջ կոտորակի նշանները,

— փոխենք հայտարարի և ամբողջ կոտորակի նշանները:

Եթե A-ով և B-ով նշանակենք հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը, ապա նշանի փոփոխման կանոնը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

Առաջադրանքներ․

1)Հետևյալ կոտորակներից ո՞րն է հավասար 2/(x−14)-ի:

Ընտրի՛ր պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

−(x+14)/−2
−2/−(x−14)
(x−14)/−2
2/(14−x)
−2/(14−x)

2)Կոտորակը ձևափոխեք այնպես, որ նրա առջև դրված նշանը փոխվի հակադիրով՝

=-1+a\a

-x\x-3

x-y\-x+y

a²+1\a+2

3)Կոտորակները բերեք 36x² հայտարարի`

ա․5x²\36x²
բ․72\36x²
գ․12x *11\3x=132x\35x²
դ․4 * 28\36x²

4)A միանդամը կամ բազմանդամը ընտրեք այնպես, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն՝

A=4

A=2(x-y)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Կիրառելով հանրահաշվական կոտորակների հիմնական հատկությունը, ∗-ի փոխարեն գրիր այնպիսի արտահայտություն, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն`

∗/9p=t²/p
9t²

2)2z/7y կոտորակը բերե՛ք 42y հայտարարի:
պատ՝ 12z²

Ընտրի՛ր պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

12z/42y
6z/42y
2z/42y

3)Կոտորակները բերեք 20x²y հայտարարի`

ա․x² * 1x²\20x²y
բ․20 y * 5\x²=100\20x²y
գ․7\20*x²y=7x²y\20x²y
դ․11\2x * 10y=11\20x²y
ե․3\5xy * 4=3\20x²y

4)A միանդամը կամ բազմանդամը ընտրեք այնպես, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն՝

4a * A + 6a³* 2
A=6a³ * 2 \4a
A=3a²

Հանրահաշվական կոտորակներ։Ամբողջ ցուցիչով աստիճան, հատկությունները

Թվային արտահայտությունը կազմվում է թվերից, թվաբանական գործողությունների նշաններից և փակագծերից:

Թվային արտահայտության գործողությունների արդյունքում ստացված թիվը կոչվում է թվային արտահայտության արժեք:

Եթե արտահայտության մեջ պատահում է բաժանում զրոյի վրա, ապա այդ արտահայտությունն արժեք (իմաստ) չունի: Զրոյի վրա բաժանել չի կարելի:

(−3)²+5⋅0,2 թվային արտահայտության արժեքը հավասար է 10-ի:

(7−(−2)⁵+(6⋅4))0 արտահայտությունն արժեք չունի:

(−3)²+5x;3a+4b;(2x−6)/3 արտահայտությունները հանրահաշվական են:

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է A/B տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:

Հանրահաշվական կոտորակը բազմանդամի և ոչ զրոյական բազմանդամի քանորդ է:

x/(x−3);(b−1)/(b+6);(1+x³)/(x²+1);(y+2)/(y²−6y+6)արտահայտությունները հանրահաշվական կոտորակներ են:

Իմանալով իրական թվերի բազմապատկման կանոնը՝ սահմանենք իրական թվի ամբողջ ցուցիչով աստիճանը:

Եթե n-ը բնական թիվ է և a≠0, ապա՝

1. aⁿ=a⋅a⋅⋅⋅a n անգամ

2. a⁻ⁿ=1/aⁿ

Օրինակ

4⁻³=1/4³=1/64

7⁻²=1/7²=1/49

Օգտվելով իրական թվերի բազմապատկման օրենքներից՝ դժվար չէ համոզվել, որ այս ձևով սահմանված ամբողջ ցուցիչով աստիճանն ունի հետևյալ հատկությունները՝

1.a^m⋅aⁿ=a^m+n

2.a^m/aⁿ=a^m−n

3.aⁿ⋅bⁿ=(a⋅b)ⁿ

4.aⁿ/bⁿ=(a/b)ⁿ

5.(aⁿ)^m=a^n⋅m

Առաջադրանքներ․

118,119,

118.

ա․=2³
բ․=2⁸
գ․=1\6
դ․=2²
ե․1\3
զ․1\81
է.5
ը․1\16
թ․1\25
ժ․2
ի․9²
լ․0,5¹
խ․-1\5 ⁵

Դասագիրք․

Տնային աշխատանք․

120

119.
ա․40,30,10,0,10^-1,10^-2,10^-3,10^-4
բ․32,16,8,2,0,2^-2,2^-1,2^-3,2^-4
գ․-27,-9,-3,0,-4,-3,-6,-9

120.
ա․-1,-1,-1,-1,1
բ․1-2,-12,-2,-2,-2

Ամբողջ ցուցիչով աստիճան, հատկությունները

Առաջադրանքներ․

1)Համեմատեք․

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-14.png

ա․ >
բ․<
գ․>
դ․<
ե․>
զ․<

2)Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-16.png

ա․ =a7
բ․=a5
գ․=a7
դ․a11
ե․=a24
զ․=a10
է․=(ab)7

3)Արտահայտությունը ներկայացրեք աստիճանների արտադրյալի տեսքով․3

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-18.png

ա.=a6 b-15
բ․a14 b -4
գ․a-12 b20

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

2)Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-17.png

Ա․ a1
ե․a-10
թ․a1
բ․a1
զ․a-9
ժ․a9
a3
a-20
a-3
a0
a-3
a-8

Համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը

Դիցուք տրված է x և y անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ՝

{a₁x+b₁y+c₁=0

{a₂x+b₂y+c₂=0

(x;y) թվազույգը կոչվում է համակարգի լուծում, եթե այն բավարարում է համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրին:

Առաջին աստիճանի գծային հավասարմանը բավարարում են նրա գրաֆիկի՝ ուղիղ գծի վրա գտնվող բոլոր (x;y) կետերը:

Հետևաբար, եթե մենք ուզում ենք, որ բավարարվեն համակարգի երկու գծային հավասարումները միաժամանակ, ուրեմն պետք է փնտրել այնպիսի (x;y) կետեր, որոնք միաժամանակ պատկանում են երկու ուղիղներից յուրաքանչյուրին:

Այսպիսով, համակարգի լուծումները համակարգի հավասարումներով տրվող ուղիղների (գրաֆիկների) ընդհանուր կետերն են:

Օրինակ՝

1. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{x+2y−5=0,

{2x+4y+3=0

x+2y−5=0 հավասարման գրաֆիկն ուղիղ գիծ է: Կառուցենք այդ ուղիղը:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	5	0
y	0	2,5

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (5;0) և (0;2.5) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

2x+4y+3=0 հավասարման գրաֆիկը ևս ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	−1,5	2,5
y	0	−2

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (−1.5;0) և (2.5;−2) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները զուգահեռ են և չունեն ընդհանուր կետեր:

Պատասխան՝ համակարգը լուծում չունի:

Օրինակ՝

2. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{2x−y−5=0,

{2x+y−7=0

Համակարգի հավասարումները բերենք գծային ֆունկցիայի ընդհանուր տեսքին՝ y=2x−5 և y=−2x+7

y=2x−5 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	0	3
y	−5	1

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;−5) և (3;1) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

y=−2x+7 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	0	1
y	7	5

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;7) և (1;5) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները հատվում են A կետում, որի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

Պատասխան՝ (3;1)

Օրինակներում կիրառեցինք համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը:

Գրաֆիկական եղանակը հուսալի չէ, քանի որ միշտ չի հաջողվում ճշգրիտ գտնել հատման կետի կոորդինատները: Այդ պատճառով, խորհուրդ է տրվում գրաֆիկորեն գտնված կետը տեղադրել համակարգի հավասարումների մեջ և համոզվել, որ դրանք բավարարվում են:

Այսպիսով, գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են հատվել մեկ կետում: Այդ կետի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

2. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են լինել զուգահեռ և չհատվել: Այս դեպքում համակարգը լուծում չունի:

3. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են համընկնել: Այս դեպքում համակարգն ունի անվերջ թվով լուծումներ:

Առաջադրանքներ․

Հավասարումների համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով․