Քառակուսի եռանդամ

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

Օրինակ՝

x²+2x−5,4x²−3x+1,x²+3x,2x²−8,7x² բազմանդամները քառակուսային եռանդամների օրինակներ են:

a թիվը անվանում են ավագ անդամի՝  x² -ու գործակից, b թիվը՝  x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քառակուսային եռանդամի ուսումնասիրման հարցերում խիստ կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b²−4ac,որն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Քառակուսային եռանդամների ուսումնասիրման ամենակարևոր հարցերից են դրանց արտադրիչների վերլուծումը և ax²+bx+c=0 հավասարման լուծումը:

1) Եթե D>0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրարից տարբեր գծային արտադրիչների: 

2) Եթե D=0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար գծային արտադրիչների: 

3) Եթե D<0, ապա եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

ax²+bx+c=a⋅(x−x₁)(x−x₂),

որտեղ՝

x₁=(−b+√D)/2a

x₂=(−b-√D)/2a

Օրինակ`

1)Վերլուծենք արտադրիչների 2x²−3x+1 եռանդամը:  

Հաշվենք D=b²−4ac տարբերիչը՝ D=(−3)²−4⋅2⋅1=9−8=1>0

Ըստ բանաձևերի՝

x₁=(3+√1)/2⋅2=1

x₂=(3-√1)/2⋅2=1/2

Հետևաբար՝

2x²−3x+1=2(x−1)(x−1/2)

2) Դիտարկենք x²+6x+9 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=6²−4⋅1⋅9=36−36=0

Այն հավասար է զրոյի հետևաբար, եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար  արտադրիչների: Դա կարելի է անել, օրինակ այսպես՝

x²+6x+9=x²+2⋅x⋅3+3²=(x+3)²=(x+3)(x+3)

Կիրառեցինք քառակուսիների գումարի բանաձևը:

3) Դիտարկենք x²+2x+6 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=2²−4⋅1⋅6=4−24=−20<0

Այն բացասական է, հետևաբար, եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների: 

Առաջադրանքներ․

ա․a=3,b=4,c=5
բ․a=2,b=5,c=7
գ․a=-5,b=3,c=-1
դ․a=6,b=x,c=-2
ե․a=x,b=-x,c=7
զ․a=-x,b=x,c=1

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Քառակուսի արմատ պարունակող հավասարումներ; Իռիացոնալ հավասարումներ

Դասարանական աշխատանք;

ա․x=0
բ․դատարկ
գ․x=3,64
դ․-դատարկ
ե․x=1\2
զ․x=4\5

Քառակուսի արմատ պարունակող հավասարումներ;Իռիացոնալ հավասարումներ

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:

Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=3²: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:

Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:

2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ 2х+1=9 գծային և √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:

Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:

Օրինակ՝

Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:

Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝ 

(√2x−5)²=(√4x−7)²

2x−5=4x−7

Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1

Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ x-ի  փոխարեն տեղադրենք 1, կստանանք՝  √−3=√−3

Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունեն:

Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:

Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատները: 

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

Օրինակ՝

Լուծենք √5x−16=2 հավասարումը:

1) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√5x−16)²=2²

2) Լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x−16=4

5x=20

x=4

3) Կատարենք ստուգում: √5x−16=2 հավասարման մեջ տեղադրենք x=4: Ստանում ենք՝ √4=2 ճիշտ հավասարությունը:

4) Պատասխան՝ √5x−16=2 հավասարման լուծումը x=4 -ն է:

Առաջադրանքներ․

Լուծել հավասարումները․

ա․x=-1\3
բ․x=-1\4
գ․x=2
դx=-10
ե․x=8\5
զ․x=-1\4

2x=4
x=2

x=5\3

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Լուծեք հավասարումները․

ա․x=9
բ․x=0
գ․-դատարկ
դ․x=1\2
ե․x=1\2
զ․x=-1
է․x=44\3
ը․x=48\5
թ․x=7

Թվաբանական քառակուսու արմատների հատկությունները

1)Հայտարարում ազատվեք արմատանշանից․

ա․=6√2\6=√2
բ․=6\2=3
գ․7√x\7=√x
դ․=2x√3\2x=√3
ե․12√2\6x=6√2\2x
զ․=25√x\5x=5√x\x
է․√7*√5\5=√35\5=√7

2)Թվերը դասավորեք աճման կարգով․

ա․√32,√30,√27,√20,√1\288

բ․√19,2,√12,√5,4,√16,27

3)Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը․

ա․2√2+3√2=5√2
բ․=√2
գ․=√a-5√a=-4√a
դ․a√x-3√x=√x*(a-3)=(a-3)√x
ե․2√a+3√a-4√a=√a

4)Աստիճան բարձրացրեք․

ա․=a+2√ab+b
բ․=a²-2ab√x+b²x
գ․=5+2√6
դ․=5-2√6
ե․=19+6√2
զ=47-8√3

Թվաբանական քառակուսու արմատների հատկությունները՝

Տեսական մասը կրկենք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

1)Հաշվե՛ք․

ա․=8
բ․=15
գ․=30
դ․=70
ե․=20
ը․=5000

2)Արտադրիչը տարեք արմատանշանի տակ․

ա․=√8
բ․=√18
գ․=√80
դ․=√500
ե․=√4a²
զ․=√18pq
ը․√4a²
թ․=√3x⁴

3)Արտահայտությունը ձևափոխեք այնպես, որ արմատանշանի տակ լինի ամբողջ թիվ․

ա․=√30\3
բ․=√66\6=11
գ․=√55\5=11
դ․√21\3
ե․=42\3

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Հաշվե՛ք․

ա․=7\9
բ․=8\10=4\5
գ․=12\9
դ․=6\4
ե․=377\841

2)Արտադրիչը դուրս բերեք արմատանշանի տակից․

ա․=√2\3
բ․√3\4
գ․=36√10\81
դ․=30√2\25
ե․=5 * √2\2
զ․=2 *√5\4
է․=3x*√x⁹\9
ը․=28a√b\16b²

3)Համեմատեք թվերը․

ա․3√2>2√3
բ․10√20<20√10
գ․3√0,5>2√0,5
դ․5√0,3<7√0,3
ե․3√10<4√6
զ․6√3>√100

Թվաբանական քառակուսու արմատ

Օրինակ՝

Հաշվենք արմատների հետևյալ արտադրյալը՝ 

Պատասխան՝ 8

Ակնհայտ է, որ առանձին 2 և 32 թվերից արմատները չէին հանվում, իսկ արտադրյալից՝ հաջողվեց:

Նման կերպ ենք վարվում, երբ չի հաջողվում առանձին հաշվել արմատների հարաբերությունը:

Օրինակ՝

Հաշվենք արմատների հարաբերությունը:

Լինում են իրավիճակներ, երբ թիվը քառակուսի բարձրացնելուց հետո, պահանջվում է արդյունքից արմատ հանել:

Այս դեպքերում կարիք չկա առանձին կատարել երկու գործողությունները՝ պատասխանը միանգամից ստացվում է երրորդ հատկության միջոցով:

Օրինակ՝

Այդպես ենք վարվում հետևյալ օրինակներում՝

Առաջադրանքներ․

1)

ա․√4²=I4I=4
բ․√3,1²=I3,1I=3,1
գ․√(-1)²=I1I=1
դ․√(-5)=I5I=5
ե․√1,13 ²=I1,13I=1,13
զ.√(-7,2)=I7,2I=7,21
է.√(-0,3)=I0,3I=0,3
ը․√(-57,1)=57,1

2)Արտադրիչը հանեք արմատանշանի տակից։

ա․√12=√2² x 3=2√3
բ․√18=√2×3²=3√2
գ․√20=√5² x 2=5√2
դ․√(-5)²=5
ե․√1,13²=1,13
զ․√(-7,2)²=I7,2I=7,2
է․√(-0,3)²=0,3
ը․√(-57,1)²=I57,1I=57,1

Հաջորդ առաջադրանքը՝

ա․√a4=a²
բ․√x3=√x² * x=X√x
գ.√m5=√m⁴ * m=m²√m
դ․√p⁷=√p⁶ * p=p³√p
ե․√a² b²=a * b
զ.√m² * 4n ²=m * 2n=2mn
է.√x⁴ y² =x *y
ը.√9p² q⁴=3pq²
թ.√121m⁴n³ k ²
ժ.√16xy³=4x * y² + y=4y√xy

3)Հաշվե՛ք․

ա․√8 * 50=√2⁴ * 5²=2² * 5=20
բ․√27*12=√3³ * 3 *2=3√63
գ․√18 *50=√2² * 3 *5²=2 *5√3=10√3
զ․√18 *50=√3² * 7² *5=21√5
է․√6*30*245=√2²*3² * 7²*5²=2*3√35
թ․√245 *27*60=√5²=2*3√35

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Հաշվե՛ք․

ա․1\2⁶+1\2=1\2³ * √1\2=1\8√1\2
բ․√(-1\3)²=1\3
գ․√(1 1\5)²=1 1\5
դ․√(-2 1\3)²=2 1\3

Թվաբանական քառակուսու արմատ

Տրված a թվից թվաբանական քառակուսի արմատ կոչվում է այն ոչ բացասական թիվը, որի քառակուսին հավասար է տրված a թվին:

Նշանակում ենք այսպես՝ √a

Կարդում ենք՝ a թվից քառակուսի արմատ: 

a -ն թիվն անվանում են արմատատակ թիվ:  

√16=4 քանի որ՝ 4²=16

Բացասական թվից քառակուսի արմատ գոյություն չունի:

Օրինակ՝ √-16 արտահայտությունն իմաստ չունի, քանի որ չկա այնպիսի a իրական թիվ, որի քառակուսին հավասար լինի բացասական թվի՝ a²≠−16

Քառակուսի արմատը գտնելու համար պետք է լավ իմանալ թվերի քառակուսիները:

Թվերի հաճախ օգտագործվող քառակուսիներ՝

Հետևաբար, √81=9; √121=11; √361=19 և այլն:

Եթե արմատատակ թիվը տասնորդական կոտորակ է, ապա պետք է ուշադրություն դարձնել ստորակետից հետո եկող թվերի քանակի վրա:

Եթե արմատատակ թիվը վերջանում է զրոներով, ապա պետք է ուշադրություն դարձնել դրանց քանակի վրա:

Տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝ 

որոնք ցույց են տալիս, որ կարիք չկա թվից արմատ հանել, եթե այն հետո պիտի բարձրացվի քառակուսի:

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք քառակուսու կողմը, եթե նրա մակերեսը հավասար է՝

ա)25 սմ²-5սմ

բ)1 մ²-1մ

գ)400 մմ²-20մմ

դ)49 դմ²-7դմ

ե)16 կմ²-4կմ

2)Գտե՛ք թիվ, որի քառակուսին հավասար է՝

ա)4-2²

բ)100-10²

գ)-6 չկա

դ)81-9²

ե)-0,25-0,5²

զ)0-0

է)0,09-0,3²

ը)1,21-1

Հաշվե՛ք․

ա)2 • √81=18

բ)1/3 • √100=10/3

գ)√4 • √0,25=1

դ)√0,16 • √9=1,2

ե)√0,27 : √3=0,09

զ)√49 : √0,01=0,7

է)√1/9 • √81=9/3

ը)√0,36 : √1/36=6/10 x 6/1=36/10=18/5

թ)√1,69 : √0,0625=68

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Հաշվե՛ք․

ա)(√2)2 =2

բ)(√3)2 =3

գ)(√13)2 =13

դ)(√17)2 =17

Հաշվե՛ք․

ա)7/9

բ)8/10

գ)16/9=4/3

դ)9/4=3/2

ե)13/41

3)Համեմատե՛ք թվերը․

ա)√100 > √81

բ)√100 <√121

գ)√4 < √9

դ)1/5 < 0,5

ե)2 >1/4

զ)9/5 > 2/7

է)√0,09 < √4/25 

ը)√1/4 > 1/4

4)Գտեք երկու իրար հաջորդող բնական թվեր, որոնց միջև գտնվում է տրված թիվը․

ա)√13= √9>√13<√16

բ)√17= √16<√17<√25

գ)√23= √16<√13<√25

դ)√39= )√36<√39<√49

Առաջինի աստիճանի մեկ անհայտով անհավասարում

Առաջադրանքներ․

Լուծել անհավասարումը․

ա․2x>4(-)x>2
բ․7x<-14 (-)x<-2
գ․-5x<100(-)x>-20
դ․-3x<9(-)x>-3
ե․-2x>-2(-)x<1
զ.-3x<6(-)x<2

ա․x-1>0(-)x>1+
բ․x+5<0(-)x<-5+
գ․x-0.5<0()x<20.5

Մեկ անհայտով գծային հավասարում

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

1)Փակագծերում նշված թիվը հանդիսանո՞ւմ է արդյոք անհավասարման լուծում՝

4x-4>3x+3 (-1)
4x-3x>3+4
x<7-լուծում չէ

72x-18<-13x (-10)

72x+13x>18-10
85x>8
x>10,625-լուծում չէ

2)Համարժե՞ք են արդյոք անհավասարումները՝

2x-1>6 և 6>2x-1-համարժեք են

x<3 և x+2<5-համարժեք չեն

3x-7>5 և -3x+7<-5-համարժեք են

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Փակագծերում նշված թիվը հանդիսանո՞ւմ է արդյոք անհավասարման լուծում՝

2+12x<-x+3 (-2)

5x-7>9+x (100)

2)Համարժե՞ք են արդյոք անհավասարումները՝

2x>4 և x<2

2x>5 և x-7>-2-x

2<7-x և 3x<5+2x

3)Լուծեք անհավասարումը`

x+4>5x

x-2<3x

3<7x-5-4x

5x-2x-8x+x-12x>7-2x

Առաջին աստիճանի մեկ անհայտով անհավասարումներ

kx−b>0 կամ kx−b<0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում k≠0, անվանում են առաջին աստիճանի մեկ x անհայտով անհավասարումներ:

Օրինակ․

a−5>0 a>5 Պատասխան՝a∈(5;+∞)

−2y−100<0 −2y<100|:(−2) (անհավասարության նշանը փոխվում է) y>100:(−2) y>−50 Պատասխան՝y∈(−50;+∞)

−3c≥−15|:(−3)(անհավասարության նշանը փոխվում է) c≤−15:(−3) c≤5 Պատասխան՝ c∈(−∞;5]

kx−b≥0 կամ  kx−b≤0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում  k≠0, անվանում են մեկ  x անհայտով առաջին աստիճանի ոչ խիստ անհավասարումներ:

Օրինակ․

x−3≥0

x≥3

Պատասխան՝x∈[3;+∞)

Առաջադրանքներ․

1)Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերեք միջակայքը՝

ա)(-2; 7)

գ)(1234; 1398)

_______________________________O____________________O_____
1234 1398

դ)(-∞; 0)

_______O________________________O____________________________
-∞ 0

զ)(-∞; -3)

_______O______________________________________O______________
-∞ -3

ը)(-∞; +∞)

_______O____________________________________O________________
-∞ ∞

թ)(- 1/3; 0,5)

2)Ինչպիսի՞ նշան (<; =; >) պետք է դնել a և b թվերի միջև, եթե a-b տարբերությունը՝

ա)դրական թիվ է
x>a
x>b

բ)բացասական թիվ է
x<a
x<b