1)Լուծեք հավասարումների համակարգը տեղադրման եղանակով․
x+x-4=13
2x=13+4
2x=17
x=8,5
y=8,5-4
(=)
8,5 4,5
3x+20x=230
23x=230
x=10y=50
(=)
10,50
2)Լուծեք հավասարումների համակարգը գումարման եղանակով․
6x=3
x=0,5
0,5-3y=4
3y=4-0.5
3y=3.5
y=3.5/3
3)Լուծեք խնդիրը․
Երկու բնական թվերի գումարը 41 է, իսկ տարբերությունը՝ 7։ Գտեք այդ թվերը։
{x+y=41
{x-y=7
2x=41+7
2x=48
x=24
24+y=41
y=41-24
y=17
1)52սմ պարագծով ուղղանկյան երկու կողմերի տարբերությունը 4սմ է։ Գտեք ուղղանկյան կողմերը։
I կողմ-x սմ
II կողմ-yսմ
{x-y=4
{(x+y)+x+y=52
x-y=4
2y+2x=52
x=4+y
8+2y+2y=52
8+4y=52
4y=52-8
4y=44
y=11
x=4+11
x=15
2)Դպրոցը ձեռք բերեց 4 բազկաթոռ և 2 սեղան,դրանց համար վճարելով 36000 ռուբլի։Եթե գնվեր 2 բազկաթոռ և 3 սեղան,ամբողջ գնումը 14000 ռուբլով պակաս կլիներ։Առանձին-առանձին որքա՞ն արժեն բազկաթոռը և սեղանը:
{4x+2y=36000
{2x+3y=22000
1,2
4x+2y=36000
4x+6y=44000
4y=8000
y=2000
4x+4000=36000
4x=36000-4000
4x=32000
x=7000
3)Երեք բադ և չորս սագ միասին կշռում են 2կգ 500գ, իսկ չորս բադ և երեք սագ միասին կշռում են 2կգ 400գ։ Որքա՞ն է կշռում 1 սագը։
Նշ․
1բադ-x
1սագ-y
{3x+4y=2500գ
{4x+3y=2400գ
12x+16y=10000
12x+9y=7200
16y-9y=7y
10000-7200=2800
7y=2800
y=400
3x+1600=2500
3x=2500-1600
3x=900
x=300
Տնային աշխատանք․
1)Երկու բնական թվերի գումարը 31 է, իսկ տարբերությունը՝ 5։ Գտեք այդ թվերը։
{x+y=31
{x-y=5
x=31-y
31-y-y=5
31-2y=5
-2y=31+5
-2y=36
-y=18
x=31-18
x=13
2)Եռանկյան մեծ կողմը 16սմ է, իսկ մյուս երկու կողմերի տարբերությունը՝ 4սմ։ Ինչի՞ են հավասար եռանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 38սմ է։
{x-y=-4
{16+y+x=38
Նշ․
1կողմ-x
1կողմ-y
x=4+y
16+y+4+y
20+2y=38
2y=38-20
2y=18
y=9
x=4+9
x=1
Օրինակ (հնագույն) Հանդիպեցին երկու հովիվ՝ Հովհաննեսը և Պետրոսը: Հովհաննեսն ասում է Պետրոսին. «Տուր ինձ մի ոչխար, և ինձ մոտ կլինի երկու անգամ ավելի ոչխար, քան քեզ մոտ»: Իսկ Պետրոսը նրան պատասխանում է. «Ոչ, ավելի լավ է դու տուր ինձ մի ոչխար, և մեզ մոտ կլինեն հավասար թվով ոչխարներ»: Քանի՞ ոչխար ուներ նրանցից յուրաքանչյուրը:
Լուծում: Դիցուք Հովհաննեսն ուներ x ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ y ոչխար: Եթե Պետրոսը Հովհաննեսին տար մեկ ոչխար, ապա Պետրոսի մոտ կմնար (y-1) ոչխար, իսկ Հովհաննեսի մոտ կլիներ (x+1) ոչխար:
Բայց այդ դեպքում Հովհաննեսի մոտ երկու անգամ շատ ոչխար կլիներ, քան Պետրոսի մոտ: Հետևաբար
x+1=2(y-1):
Իսկ եթե Հովհաննեսը Պետրոսին մեկ ոչխար տար, ապա Հովհաննեսի մոտ կմնար (x-1) ոչխար, իսկ Պետրոսի մոտ կդառնար (y+1) ոչխար: Բայց այդ դեպքում նրանք կունենային հավասար թվով ոչխարներ: Հետևաբար
x-1=y+1:
Այս երկու հավասարումներից կազմենք համակարգ՝
Համակարգն էլ լուծելով մեզ արդեն ծանոթ տեղադրման կամ գումարման եղանակով՝ կստանանք, որ x=7; y=5: Այսպիսով, Հովհաննեսն ունի 7 ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ 5 ոչխար:
Առաջադրանքներ․
1)
ա) Երկու թվերի գումարը 10 է, իսկ տարբերությունը՝ 4: Գտեք այդ թվերը:
{x-y=4
{x+y=10
x+x=2x
24+10=24
2x=14
x=7
7-y=4
-y=4+7
y=3
1թիվ-7
2-րդ թիվ-3
Պատ՝ 7,3
բ) Երկու թվերի գումարը 21 է, իսկ տարբերությունը՝ 9: Գտեք այդ թվերը:
{x+y=21
{x-y=9
x+x=2x
21+9=3
2x=3
x=15
15+4=21
y=21-15
y=6
Iթիվ-15,6
IIթիվ-11
2) Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 44: Գտեք այդ թվերը:
{y=2x
{4x+2y=44
4x+4x=44
x=44
44\8=5,5
5,5*2=11
Iթիվ-5,5
IIթիվ-11
3) Տրված են երկու թվեր։ Եթե առաջին թիվը բազմապատկենք 2-ով, ապա ստացված թիվը 1-ով մեծ կլինի երկրորդից, իսկ եթե երկրորդ թիվը բազմապատկենք 2-ով, ապա ստացված թիվը 7-ով մեծ կլինի առաջինից։ Գտեք այդ թվերը։
{2x=y+1
{2y=x+7
y=2x-1
4x-2=x+7
4x-x=7+2
3x=9
x=3
y=6-1
y=5
Iթիվ-3
IIթիվ-5
Տնային աշխատանք․
1)
ա) Մի թիվը 6-ով մեծ է մյուսից: Այդ թվերի գումարը հավասար է 40-ի: Գտեք այդ թվերը:
{x+y=40
{x-y=6
x=40-y
40-y-y=6
40-2y=6
2y=6-40
2y=34
y=17
x=40-17
x=23
բ) Մի թիվը 15-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 23 է:
{x+y=23
{x-y=15
x=23-y
23-y-y=15
23-2y=15
-2y=15-23
-y=4
x=23-4
x=19
2) Մի թիվը 7-ով մեծ է մյուսից: Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը՝ 6 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 31: Գտեք այդ թվերը:
{x-y=7
{2y+6x=31
2y+6 x(7+y)=31
2y+42+6y=31
8y+42=31
8y=31-42
8y=-11
y=-11\8
x=7\1+(-11\8)=56\8+(-11)=45\8
x=5+y
10+2y+4y=22
10+6y=22
6y=22-10
6y=12
y=2
x=5+2
x=7
(=)
7,2
10,10
50y-20y=30y
220-130=90
30y+30x=90
30y=90-30
30y=60
y=2
2y+3c=13
3x=13-2
3x=11
x=3,6
(=)
3,6,(2)
Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման գումարման (գործակիցների հավասարեցման) եղանակի ալգորիթմը:
1. Հավասարեցնել (եթե անհրաժեշտ է) փոփոխականներից մեկի գործակիցների մոդուլները:
2. Գումարել կամ հանել հավասարումները: Լուծել ստացված մեկ փոփոխականով հավասարումը և գտնել անհայտներից մեկը:
3. Երկրորդ քայլում գտած արժեքը տեղադրել հավասարումներից որևէ մեկի մեջ և գտնել համակարգի երկրորդ փոփոխականի արժեքը:
4. Գրել պատասխանը:
Օրինակ՝ Լուծել հավասարումների համակարգը՝
Գումարենք հավասարումները՝
x-ի գտած արժեքը տեղադրենք հավասարումներից որևէ մեկի մեջ, օրինակ՝ երկրորդի և գտնենք y-ը՝
Առաջադրանքներ․
34
Տնային աշխատանք․
35
Առ․34
բ․{y-3y-3=0
{x+y-1=0
-3y-y=-4
3-(-1)
-4y+4=0
-4y=-4
-x=1
x+1-1=0
x=0
(=):(0,1)
գ․{4x+y-2=0
{3x+y+3=0
3-(-2)=5
3x-4x=-x
-x+5=0
x=5
(=)
(5,-18)
դ․
{x-y-7=0
{3x-y+1=0
3x-x=2x
1-(-7)=8
x=8
8-y-7=0
x=-8+7
(=)
(8,-1)
Առ․35
ա․{x+3y-1=0
{-x+4y+8=0
3y+4y=7y
-1+8=7
7y+7=0
7y=7
y=-1
x+(-3)-1=0
X=3+1
X=4
(=)
(4,-1)
բ․
{x-2y+3=0
{-x+3y-2=0
-2y+3y=-1y
3-2=1
y=-1
x-2y+3=0
x=2+3
x=5
(=)
15,-1
գ․
{x-y+2
{3x+y-4=0
x+3x=4x
2+(-4)=-2
x=-1
-1-y+2=0
y=2+3
y=5
(=)
-1,3
դ․{2x+y-3=0
{-x-y+4=0
2x+(-x)=x
-3+4=1
x=-1
-2+y-3=0
y=2+3
y=5
(=)
-1,5
Տեսական նյութը կրկնել այստեղ․
Տեղադրման եղանակով լուծել հավասարումների համակարգը․
Առաջադրանքներ․
y=11-2x
3x-11-2x=9
x-11=9
x=9+11
x=20
y=11-2×20
y=11-40
Թվազույգ։
x=20
y=11-40
x=5-2y
10-4y-y=5
10-3y=5
3y=5-10
3y=-5
y=3/-5
x=5-2x(3/-5)
x=5-6/-10
Թվազույգ;
y=3/-5
x=5-6/-10
x=6-3y
12+6y+y=7
12x+7y=7
7y=7-12
7y=-5
y=-7/5
x=6-(-21/15)
Թվազույգ;
x=6-(-21/15)
y=-7/5
Տնային աշխատանք․
y=7-x
2x-7-x=8
x-7=8
x=8+7
x=15
y=7-15
Թվազույգ;
x=15
y=7-15
y=1-2x
3x-1-2x=4
x-1=4
x=4+1
x=5
y=1-10
Թվազույգ։
x=5
y=1-10
y=-2x+1
3x+-4x+1+5=0
-1x+1+5=0
-x=-5-1
-x=-6
y=-12+1
Թվազույգ;
-x=-6
y=-12+1
Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման տեղադրման եղանակի ալգորիթմը:
1. Համակարգի հավասարումներից որևէ մեկից (սովորաբար ավելի պարզից) արտահայտել փոփոխականներից մեկը մյուսի միջոցով, օրինակ՝ առաջին հավասարումից արտահայտել x-ը y-ի միջոցով:
2. Ստացված արտահայտությունը տեղադրել մյուս (երկրորդ) հավասարման մեջ, օրինակ՝ x-ի փոխարեն:
3. Լուծել մեկ անհայտով հավասարումը, օրինակ՝ y-ի նկատմամբ (գտնել y-ը ),
4. Երրորդ քայլում գտնված y-ի արժեքը տեղադրել y-ի փոխարեն՝ առաջին քայլում ստացված հավասարման մեջ և գտնել x-ը:
5. Գրել պատասխանը:
Օրինակ
Լուծել հավասարումների համակարգը՝
1) Առաջին հավասարումից ստանում ենք՝
x−2y=3
x=3+2y
2) Ստացված արտահայտությունը տեղադրում ենք երկրորդ հավասարման մեջ՝ x-ի փոխարեն՝
5⋅x+y=4
5⋅(3+2y)+y=4
3) Լուծենք ստացված հավասարումը և գտնենք y-ը՝
5⋅(3+2y)+y=4
15+10y+y=4
10y+y=4−15
11y=−11
y=−1
4) Տեղադրենք y-ի գտնված արժեքը առաջին քայլում ստացած հավասարման մեջ՝ y-ի փոխարեն և գտնենք x-ը՝
x=3+2⋅y
x=3+2⋅(−1)
x=3−2
x=1
5) Պատասխան՝ (1;−1)
Առաջադրանքներ․
1)
x=2y
2x2y-3y-7=0
4y-3y=7=0
4y-3y-7=0
1y-7=0
y=7
x=2×7=14
Թվազույգ։
(14,7)
2)
y=3x
x-6x+10=0
-5x=-10
-5=-10
x=2
y=3×2=6
Թվազույգ։
(2,6)
3)
x=y+1
y+1+y-5=0
2y=-1+5
2y=4
y=2
y=2+1=3
Թվազույգ։
(3,2)
Տնային աշխատանք․
1)
x=5y
3x(5y)-y+12=0
-15-y+12=0
-16y+12=0
-16y=-12
y=12/6=3/4
y=5x 3/4=-15/4
Թվազույգ։
(-3,3/4)
2)
-y=-7x
y=7x
3x-(-7x)+12=0
-4x=-12
x=3
y=21
Թվազույգ։
(3,21)
3)
x=y+2
y+2+y-6=0
2y=-2+6
2y=4
y=2
x=2+2=4
Թվազույգ։
(4,2)
ax+by+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a−ն,b−ն,c−ն թվեր են (գործակիցներ), կոչվում է x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարում: a և b թվերը կոչվում են անհայտների գործակիցներ, իսկ c-ն՝ ազատ անդամ:
ax+by+c=0 հավասարման լուծում անվանում են ցանկացած (x;y) թվազույգ, որը բավարարում է ax+by+c=0 հավասարմանը, այսինքն՝ հավասարման մեջ տեղադրելիս այն վերածում է ճիշտ թվային հավասարության:
Օրինակ՝
x+y−3=0 երկու անհայտով գծային հավասարման լուծումներ կարող են լինել (3;0),(2;1),(1;2),(0;3),(4;−1) թվազույգերը։
Առաջադրանքներ․
5, 7, 8
Առ․5՝
ա․5x+4y-2=0
գ․0x+2y-1=0
բ․0x-3y+4=0
դ.-5x-1y+0=0
Առ․7
ա․3+2-3=0
2.15+-14-1=01
3.3x-3+10-1=0
ա․8
ա․ -2+4=0-լուծում չէ
բ․0+4+4=0-լուծում չէ
գ․6+4+4=0-լուծում չէ
դ10+0+4=0-լուծում չէ
ե․-4+1+4=0-լուծում չունի
զ-4+0+4=0-լուծվում է
Տնային աշխատանք․
, 9
ա․2-9+5=0-լուծում չէ
գ․1-3-6=0-լուծում չէ
ե․1+6-7=0-լուծում է
բ․-1+3-2=0-լուծում չէ
դ․7-9,6+4=0-լուծում չէ
զ․0-21+21=0-լուծում է
Առաջադրանքներ․
1․Աստղանիշները փոխարինե՛ք այնպիսի միանդամներով, որ ստացվի նույնություն.
ա) (a − y)( a 2 + ay + y 2) = a 3 − y 3
բ) a- b6 = (a − b6)( a 2 + ab2 + b12)
գ) a 3 + 8b3 = (a + 2b)( a 2 − 2ab + 4b 2)
դ) x 9−y4 = ( x 3− y 2)( + x 3 y 2 + y 4)
2.Լուծե՛ք հավասարումը.
ա) (3x − 1)(5x + 4) − 15x 2 = 17բ) 21x 2 + (1 − 3x)(2 + 7x) = 4
3.Լուծե՛ք խնդիրը.
Տնային աշխատանք․
1.Աստղանիշների փոխարեն գրե՛ք միանդամներ, որպեսզի ստացվի ճիշտ հավասարություն. ա) (x − 2y)2 = x 2− * +4y 2
բ) (2x − 1)2 = 4×2 −4x + 1
գ) (4×3− 1)2 = 16×6−8x 3 + 1
դ) (5x 2 − 10)2 = 25x4 −20x 3+ 100
2.Լուծե՛ք հավասարումը.
ա) (2x − 3)(2x + 3) − x(5 + 4x) = 11
2x2-32-x5+5x=11
x5 և 5x-հանում ենք,քանի որ նման են և մեկը մինուս է մեկը պլյուս։
2x2-32=11
1.Լուծեք հավասարումները․
ա)5x+3x-10=14
8x=14+10
8X=24
բ)-3+9y+13-5y=22
9y-5y=22+3+13
4y=38
գ)(5x+3)-(2x-4)=(x-2)-(x+3)
5x-2x+x+x=3-2+3+4
5x=8
դ)2x+1=2x+3
2x+2x=3-1
4x=2
2. Լուծեք խնդիրները կազմելով հավասարում․
ա)Ջրով դույլը կշռում է 10 կգ։Որքա՞ն է կշռում դույլը, եթե հայտնի է, որ այն 9կգ-ով թեթև է նրա մեջ գտնվող ջրից։
9x+x=10
10x=10
x=1
Անահիտ Տիգրանյան 